Cơ lượng tử #2: Hàm sóng

Tóm tắt

Hàm sóng. Ý nghĩa hàm sóng. Sự chuẩn hóa hàm sóng.

Cách đo các đại lượng trong cơ học lượng tử.

---

Nội dung

1. Định nghĩa:

Một cách tổng quát, hàm sóng là hàm thỏa mãn phương trình truyền sóng hoặc các phương trình vi phân từng phần với những điều kiện ban đầu và điều kiện biên khác nhau. Trong Cơ học lượng tử, hàm sóng là hàm thỏa mãn phương trình Schoedinger.

Hàm sóng, cùng với phương trình Schoedinger được xem là tiên đề của cơ học lượng tử, chỉ thừa nhận, không chứng minh. Hàm sóng mô tả trạng thái của hạt tại thời điểm t.

2. Ý nghĩa của hàm sóng:

Hàm sóng là một hàm số phức (sẽ lý giải rõ hơn ở những bài viết sau), không phải một đại lượng vật lý, nghĩa là không thể đo đạc được hàm sóng. Vậy hàm sóng có ý nghĩa gì?

Vào năm 1926, bài báo của Max Born được đăng. Trong bài viết này, ông giải thích ý nghĩa hàm sóng bằng một công thức:

Điều này nghĩa là, bình phương modul của hàm sóng cho ta biết xác suất tìm thấy hạt tại vị trí (x, y,z) tại thời điểm t ban đầu.

Sử dụng những công thức về xác suất với phân phối liên tục ta có:

• Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng [a,b]:

• Sự chuẩn hóa hàm sóng:

Sự chuẩn hóa này có nghĩa là tại thời điểm t ban đầu, xác xuất tìm thấy hạt trên toàn miền không gian là 100%.

• Trung bình của một đại lượng vật lý phụ thuộc liên tục vào r

3. Cách thực hiện phép đo trong cơ lượng tử

Khi thực hiện pháp đo các đại lượng trong cơ lượng tử, sẽ xảy ra hiện tượng suy chuyển (collapses), nghĩa là trước khi đo, nó là một phân bố rộng khắp trong không gian, nhưng ngay khi ta thực hiện phép đo, hàm sóng sẽ suy chuyển về 1 vị trí.

Giả sử đây là hàm sóng của một hạt, thì khi thực hiện phép đo đại lượng x (vị trí), ta biết được hạt đang ở vị trí C. Còn trước đó, ta không thể xác định được vị trí của hạt.

Vậy làm sao để có thể biết chính xác giá trị của một đại lượng trong Cơ học lượng tử?

Để xác định được, ta xây dựng một hệ gồm nhiều hạt có cùng một điều kiện, gọi là hệ đồng nhất. Tiến hành đo đồng thời giá trị của cả hệ, ta thu được 1 phân bố các giá trị của đại lượng ấy. Trung bình của các giá trị thu được, sẽ cho ta giá trị trung bình của đại lượng.

Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử. Ví dụ toán tử đơn giản nhất là toán tử vị trí. Trong không gian 1 chiều toán tử vị trí là x.

Để tính trung bình vị trí ta dùng công thức sau:

Các đại lượng khác trong không gian 1 chiều sẽ là 1 hàm phụ thuộc biến x (Sẽ mô tả rõ hơn trong bài viết sau).

Đọc thêm

• Con mèo của Schoedinger - sự chồng chất lượng tử.

Vấn đề là do khi đo lường, cũng một điều kiện, chúng ta có thể thu được nhiều giá trị của đại lượng vật lý trong 1 hệ.

Schoedinger đưa ra 1 thí nghiệm tư duy: Bỏ một con mèo vào trong 1 buồng thép, cùng với đó là một nguồn phóng xạ có chu kỳ bán rã rất lớn. Lớn đến nỗi trong 1 giờ, chỉ có thể có 1 phân rã. Nếu xảy ra phân rã, đầu dò bị kích thích, sẽ phóng ra 1 búa làm vỡ bình đựng axit hydro xianua, làm con mèo ngộ độc chết. Chúng ta để hệ thống này hoạt động trong vòng 1 giờ. Schoedinger nói rằng, cho đến trước khi chúng ta mở hộp ra, thì con mèo đang cùng tồn tại ở cả hai trạng thái, cả sống, cả chết. Giống như hàm sóng là sự chồng chập của nhiều trạng thái. Mà trước khi chúng ta thực hiện phép đo, chúng ta không thể biết nó ở đâu.

• Sóng dẫn

Trong thí nghiệm này, bằng cách kích thích cho bình chứa chất lỏng dao động ở tần sấp xỉ với tần số của hạt chất lỏng, hạt chất lỏng có thể nảy trên bề mặt chất lỏng. Khi tăng biên độ dao động của khối chất lỏng, hạt chất lỏng sẽ di chuyển trên bề mặt.

Bình thường, các hạt này sẽ di chuyển thẳng với vận tốc không đổi. Nhưng khi chịu tác dụng của ngoại lực hay giới hạn bởi biên, điều đó lại thay đổi.

Trong phần sau của video, người ta cho hạt di chuyển trong 1 khung tròn (Test region), người ta đo tốc độ của hạt, biểu diễn theo màu.

Ở hình a, chúng người ta theo dõi quỹ đạo của hạt chất lỏng, với thời gian đủ lâu, chúng ta thu được 1 phân bố như hình b. Phân bố này gần như trùng với lý thuyết của De Broglie về sóng của hạt.

Tuy mẫu thí nghiệm là một hạt chất lỏng, lớn hơn rất nhiều so với những thứu mà cơ lượng tử khảo sat, nhưng có thể liên hệ. Hạt vật chất sẽ phát ra một sóng gọi là sóng dẫn, nó định hướng đường đi của hạt để hạt có thể tạo ra các hiệu ứng nhiễu xạ.

Điều này càng củng cố thêm lý thuyết về sóng vật chất của De Broglie và cơ lượng tử.